У Ч Р Е Ж Д Е Н И Е

ЦЕНТР НЕЗАВИСИМОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ НА АВТОМОБИЛЬНОМ  ТРАНСПОРТЕ

«ЦНЭАТ»

 

 443098  г. Самара, ул. Пугачевская 73А, (АТП-5)    тел. (846)  958-87-45  тел/факс. (846) 958-84-09,  e-mail: at-63@mail.ru

Лекция четвертая, в которой обсуждается, как считать большие деформации

В прошлой лекции мы решили методом конечных элементов очень простую задачу упругого изгиба балки, применив одномерный конечный элемент. Для расчетов же деформаций автомобилей, как правило, применяются трехмерные оболочечные элементы, т.е. элементы, два измерения которых много больше третьего, т.к. кузов автомобиля и на самом деле изготавливается преимущественно из листового материала. И, тем не менее, несмотря на простоту прошлой задачи, для записи выражений нам пришлось использовать матричную алгебру, так как иначе эти громоздкие формулы просто могут не уместиться на листе. Для оболочечного же элемента запись существенно усложнится.


Целью этой лекции является рассмотрение простого треугольного оболочечного конечного элемента, пригодного для расчета больших деформаций, а для задач расчета больших деформаций одним из основных является вопрос, как различить перемещение конечного элемента как жесткого целого от его деформации. Поэтому далее, для удобства, кроме глобальной системы координат, будем использовать и локальную систему координат, связанную с конечным элементом.

Рассмотрим оболочечный треугольный конечный элемент, показанный на рис.1, узлы которого 1,2 и 3, определяющие его срединную (или ссылочную) поверхность, лежат в плоскости , узел 1 совпадает с началом координат, узел 2 лежит на оси , а проекция узла 3 на ось находится между узлами 1 и 2. Здесь знаком «^» обозначены оси локальной системы координат, связанные с конечным элементом.


При чистом изгибе элемента его деформированное состояние полностью описывается одной величиной – прогибом в направлении оси . Поле прогиба на границах между соседними элементами должно быть непрерывно, а углы разворотов на границах соседних элементов должны однозначно определяться через значения разворотов в узлах, образующих границу. Это необходимо для того, чтобы конечно-элементная модель в деформированном состоянии не имела изломов по границам конечных элементов, так как два соседних элемента на общей границе всегда имеют одинаковые узловые развороты и относительно осей координат и соответственно. При этом

что показано на рис.2 на примере разворота ¼ плоскости, первоначально совпадавшей с плоскостью .

Аппроксимируем поля разворотов линейными функциями

которые удовлетворяют требованию непрерывности разворотов на границе двух соседних элементов.

В приведенные выше выражения входят шесть неизвестных коэффициентов , , …, . Их можно заменить шестью значениями узловых разворотов в трех узлах треугольного конечного элемента, то есть , , , , , , которые и будут основными неизвестными задачи. С учетом, что , , и , из первого из двух приведенных выше соотношений получим следующую систему линейных уравнений

Разрешая эту систему уравнений относительно , и , получаем

Аналогично из соотношения для получаем

Кривизны поверхности и , и ее кручение выражаются через вторые производные от функции прогиба

Запишем выражения для двух компонентов кривизны и поверхности конечного элемента относительно осей и соответственно, и для кручения этой же поверхности через узловые развороты

где – удвоенная площадь треугольного конечного элемента.

Введем матричные обозначения

и

где – вектор кривизны, – вектор разворотов, – матрица коэффициентов.

Тогда последние соотношения с учетом матричных обозначений можно записать в виде

.

Кроме изгиба конечный элемент может деформироваться и в своей плоскости. При этом его деформированное состояние полностью определяется двумя величинами – перемещением в направлении оси и перемещением в направлении оси . Поля перемещений на границах между соседними элементами должны быть непрерывными, а перемещения однозначно определяться через перемещения узлов, образующих границу. Это необходимо для того, чтобы конечно-элементная модель оставалась сплошной в деформированном состоянии, так как два соседних элемента имеют одинаковые узловые перемещения.

Аппроксимируем поля перемещений линейными функциями

которые удовлетворяют требованию непрерывности перемещений на границе двух соседних элементов.

В эти выражения входят шесть неизвестных коэффициентов , , …, . Их можно заменить шестью значениями перемещений в трех узлах треугольного конечного элемента, то есть , , , , , , которые так же будут основными неизвестными задачи. Подставляя в выражение для координаты узлов 1, 2 и 3 элемента, с учетом, что , и , получим следующую систему линейных уравнений

Разрешая эту систему уравнений относительно , и , получаем

Аналогично из выражения для получаем

Линейные относительные деформации ссылочной поверхности конечного элемента и в направлениях осей и соответственно, и угловой сдвиг в плоскости конечного элемента выражаются через первые производные от полей перемещений и

Запишем выражения для , и через узловые перемещения

Введем матричные обозначения

и

где – вектор деформаций ссылочной поверхности, – вектор перемещений, – матрица коэффициентов.

Тогда последние соотношения с учетом матричных обозначений можно записать в виде

.

Материал конечного элемента имеет некоторую толщину выше и ниже ссылочной поверхности, лежащей в плоскости . Тогда деформация конечного элемента может быть определена через деформацию его ссылочной поверхности как

,

или

,

где – координата по нормали к ссылочной поверхности.

Без вывода приведем выражение для оставшихся двух компонент сдвиговой деформации слоев конечного элемента относительно друг друга

,

где

,

и

.

Заметим, что, так как в конечном элементе имеет место плоское напряженное состояние, деформация всегда при необходимости может быть вычислена через деформации и .

В приведенных выше соотношениях углы разворотов есть деформационные составляющие полных разворотов, т.е. разность между полными разворотами и разворотами конечного элемента как жесткого целого

.

Две компоненты разворота конечного элемента как жесткого целого могут быть записаны в виде

,

и

,

где , и в – перемещения узлов 1, 2 и 3 соответственно вдоль оси .

Итак, подведем некоторые промежуточные итоги. Каждый -й узел конечного элемента может перемещаться в плоскости конечного элемента, что определяется вектором с компонентами в локальной системе координат, и может перемещаться в перпендикулярном плоскости конечного элемента направлении в результате изгиба конечного элемента, что определяется величинами углов разворота в узле . Т.о. каждый узел имеет 4 степени свободы, или четыре возможных перемещения. Тогда, как получено выше, эти возможные перемещения связаны с относительными деформациями через координаты узлов, т.е.

.

Теперь относительные деформации можно связать с напряжениями в конечном элементе, вызванными его деформацией. Получение этих соотношений в условиях упруго-пластической деформации – тема отдельной лекции о моделях материалов и теориях пластичности. Поэтому запишем уравнения связи в виде функций

и

,

где – вектор напряжений, , а и – некоторые функции.

Далее, как и в прошлой лекции, остается через произведения напряжений на деформации записать выражение для энергии деформации конечного элемента, просуммировать полную энергию по всем конечным элементам и найти ее минимум, который и определяет истинные перемещения в узлах при заданных граничных условиях. Следует отметить, что в процессе суммирования полной энергии по каждому конечному элементу необходимо перейти от локальной системы координат, которая у каждого конечного элемента своя, к глобальной системе координат.


В.Н.Никонов,

ведущий научный сотрудник Института механики Уфимского научного центра РАН,

кандидат технических наук

Статья в формате PDF

© 2007,  ЦНЭАТ , г. Самара, ссылка на ЦНЭАТ и страницу обязательны (www.cneat.ru)




Главная


Назад